A orientação dada à educação matemática depende naturalmente da interpretação adotada do desenvolvimento psicológico ou da aquisição das operações e das estruturas lógico-matemáticas. Essa orientação depende igualmente do sentido epistemológico dado a essas questões. A psicogênese e a significação epistemológica são estreitamente relacionadas. Se o platonismo está certo ao considerar que as entidades matemáticas existem independentemente do sujeito, ou se o positivismo lógico está correto ao reduzir as entidades matemáticas a uma sintaxe e a uma semântica gerais; em ambos os casos seria justificável colocar a ênfase na simples transmissão de verdades do professor para as crianças e usar, logo que possível, a linguagem do professor, ou seja, a linguagem axiomática, sem muita preocupação a respeito das idéias espontâneas da criança.
Nós acreditamos, ao contrário, que existe, como uma função do desenvolvimento global da inteligência, uma espontânea e gradual construção das estruturas lógico-matemáticas elementares e que essas estruturas ‘naturais’ (’naturais’ no mesmo sentido em que falamos dos números ‘naturais’) são muito mais próximas das que estão sendo utilizadas na matemática ‘moderna’ do que as que são utilizadas na matemática tradicional. Existe entretanto um corpo de fatos que são em geral pouco conhecidos dos professores, mas que, uma vez que eles melhorem o seu conhecimento sobre psicologia, seria de considerável utilidade e ajudaria-os bem mais do que fazer outras coisas complicadas. Isto também facilitaria a realização de vocações criativas nos alunos, ao invés de considerá-los simplesmente como instrumentos de recepção.
Contudo, para atingir este estágio é necessário revisar nossas idéias sobre a relação entre linguagem e ação. Pareceria psicologicamente evidente que a lógica não surge fora da linguagem, mas de uma fonte mais profunda, e isto pode ser encontrado na coordenação geral das ações. De fato, anteriormente a qualquer linguagem, num nível puramente sensório-motor, as ações são suscetíveis a repetições e depois a generalizações, constituindo o que pode ser chamado de esquemas de assimilação. Estes esquemas se auto-organizam de acordo com certas leis e parece impossível negar a relação entre eles e as leis da lógica. Dois esquemas podem ser coordenados ou dissociados (reunião), um pode ser parcialmente incluído no outro (inclusão), ou somente ter uma parte em comum com o outro (intersecção); as partes de um esquema ou a coordenação de dois ou mais esquemas podem permitir uma ordem invariante de sucessões, ou certas permutações (tipos de ordem), assim como correspondência um-a-um, um-a-muitos ou muitos-a-um (bijeção, etc.). Considerando que um esquema impõe um objetivo para uma ação, é contraditório para o sujeito ir em sentido oposto. Em resumo, há toda uma lógica da ação que comanda a construção de certas identidades, e isto vai além da percepção (por exemplo, a permanência de objetos ocultos), conduzindo à elaboração de certas estruturas (o grupo prático de deslocamentos, já descrito por Poincaré em seu ensaio epistemológico).
Portanto seria um grande equívoco, particularmente em educação matemática, negligenciar o papel das ações e sempre retornar ao nível da linguagem. Particularmente com alunos jovens, atividades com objetos são indispensáveis para a compreensão da aritmética, assim como das relações geométricas (como foi o caso com a matemática empírica dos Egípcios). A aversão dos professores de matemática à atividades que envolvam experimentação material é compreensível. Eles provavelmente vêem uma variedade de referências das propriedades físicas dos objetos e podem temer que verificações empíricas possam prejudicar o desenvolvimento da dedução e da racionalidade pura que caracteriza sua disciplina. Mas, na verdade, isto é uma incompreensão fundamental e uma análise psicológica nos permite afastar estes medos e reassegurar aos matemáticos, com relação a sua demanda essencial, de que os aspectos dedutivos e formais da mente podem ser educados. Existem, na verdade, dois tipos de ‘experiências’, uma bem diferente da outra, que estão relacionadas às ações do sujeito. Em primeiro lugar, há o que é conhecido como ‘experiência física’ (no sentido amplo) que consiste em agir sobre os objetos para descobrir as propriedades dos próprios objetos, por exemplo, comparando pesos ou densidades, etc. Mas existe também, e isto geralmente não é conhecido, o que pode ser chamado de ‘experiência lógicomatemática’. Este tipo de experiência retira informação, não das propriedades físicas de objetos particulares, mas das ações atuais (ou mais precisamente de sua coordenação) executadas pelas crianças sobre os objetos. Estes dois tipos de experiência não são equivalentes. Um amigo meu e matemático muito conhecido disse que o começo de seu interesse pela matemática foi provocado por uma experiência do segundo tipo que lhe aconteceu quando ele tinha cerca de quatro ou cinco anos de idade. Sentado no jardim, ele começou a entreter-se colocando pedrinhas em linha e contando-as, por exemplo, de um a dez, da esquerda para a direita. Após ele contou-as da direita para a esquerda e, para a sua grande surpresa, ainda encontrou dez. Então colocou-as em um círculo e, entusiasmado contou novamente — dez!. Contou-as no sentido oposto e eram dez em ambos os sentidos. Continuou organizando as pedrinhas de variados modos e terminou convencendo-se de que a soma, dez, era independente da disposição ou organização das pedrinhas. É evidente que nem a soma nem a organização são propriedades físicas das pedrinhas, até aquele momento em que a criança de fato as tenha organizado ou colocado todas juntas. Neste instante a criança descobriu que a ação de reunir pedrinhas produz resultados e estes resultados são independentes do ato de ordenação das mesmas. Ela pode observar isso com qualquer objeto sólido. As propriedades físicas das pedras não representaram papel particular algum (além do fato de que as pedrinhas ‘aceitavam’ estas ações, a natureza delas, não obstante, permaneceu inalterada, isto é, foi conservada; e a própria conservação também proporciona uma experiência lógico-matemática).
O papel inicial das ações e experiências lógico-matemáticas, longe de
Colega de estudo: pós ftc
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